De ideale rekenles – Geeke Bruin-Muurling

Openingslezing, gegeven op de studiedag van de NVORWO op 5 april 2019 in Nieuwegein.

Wat is ideaal?

De ideale rekenles. Hoe ziet die er uit? Dat was de vraag waarmee de organisatie mij uitnodigde deze studiedag te openen. Geen gemakkelijke vraag. 

Is de ideale rekenles nog steeds ons eigen realistisch reken-wiskunde onderwijs? Het heeft ons veel gebracht, maar er is op het moment ook veel kritiek. 
Is het dan expliciete directe instructie[i], waarbij de lessen een heldere structuur hebben die is opgebouwd uit bewezen effectieve instructie-elementen?
Of is het wellicht “the thinking classroom” van Peter Liljedahl[2]? Zijn gedachte: er zijn in ons wiskunde-onderwijs veel oude en ongeschreven regels. Deze ‘institutionele’ regels stelt hij allemaal opnieuw ter discussie. En zo komt hij bij nieuwe ideeën als ‘defront the classroom’ en ‘use vertical non-perminent surfaces’. 
Of kent de ideale rekenles de growth mindset die Jo Boaler[3]promoot? In haar aanpak wordt rekenen-wiskunde gezien als teamwork, als verschillende methodes van oplossen en gaat het om ideeën en om creativiteit. Wiskunde gaat daarbij nadrukkelijk niet over de snelheid van antwoorden en ook niet over goed en fout. Er wordt gestreefd naar rekenwiskundelessen die visueel, creatief, uitnodigend, zelfs bemoedigend zijn. Het zijn lessen waar leerlingen geduld moeten hebben; zoals een leerling in dit filmpje[4]verzucht “because certain problems, they take forever”. 


Die idéale rekenles? Is die volledig digitaal, handelend, tekenend, wiskundig, basisvaardig, gebruik makend van de modernste digitale hulpmiddelen? Of juist helemaal niet?

Voor de gelegenheid heb ik de betekenis van idealemaar eens opgezocht. Als bijvoeglijk naamwoord betekent het: ‘volmaakte’. De lat ligt dus behoorlijk hoog vandaag: ‘Wat is de volmaakte rekenles?’ Overigens terecht. Want het gaat over onze toekomst: voor ónze kinderen en hun individuele pad in het leven. Én voor ons als collectief gaat het over het functioneren van onze maatschappij. Ondanks alle verschillende meningen over onderwijs, ga ik er van uit dat we ons hierin verenigen: we willen allemaal het béste onderwijs voor ónze kinderen. 

Maar wat is nu dat ‘beste’? Door de vooruitgang van software staat steeds meer wiskunde tot onze beschikking. Er worden enorme hoeveelheden data verzameld, en we hebben alle mogelijkheden om die te onderzoeken en analyseren. We zijn verwend geraakt. Cijfers geven ons het antwoord op een grote range aan vragen. Ze geven ons een gevoel van zekerheid, en dat is heel prettig. Vooral bij zulke belangrijke zaken als onze gezondheid of het onderwijs. 
Het is dan ook niet verwonderlijk dat evidence-based onderzoek zo’n vlucht neemt, of dat nu in de geneeskunde is of meer recentelijk in de onderwijswetenschappen. Dit type onderzoek lijkt uitermate geschikt om ons de zekerheid te geven die we zoeken: het laat ons immers zien wat bewezen effectief is.

Figuur 1: Screenshots uit interview behorende bij de Kennisnet Onderzoeksconferentie 20174

In Figuur 1 zomaar een voorbeeld uit deze kwantitatieve traditie. Ik gebruik expres een ‘neutraal’ voorbeeld op het gebied van taalontwikkeling.  Dan staat de eerste indruk even los van een mening over rekenonderwijs. Dit artikel hoort bij een lezing op de onderzoeksdag van Kennisnet in 2017[5]. Ik heb deze lezing zelf bijgewoond en de strekking van de lezing was zoals de uitspraak op die u hier ziet: Digitale boeken zijn voor een aanzienlijk deel van de kinderen effectiever dan gewoon voorlezen. Het gaat hier om onderzoek aan een NL universiteit, uitgevoerd door een hoogleraar. Het is gepubliceerd. De cijfers tijdens de presentatie onderbouwden de conclusie: deze leerlingen moeten we digitale prentenboeken aan gaan bieden in plaats van ze voor te lezen. Allemaal aspecten die vertrouwen wekken in de betrouwbaarheid van het onderzoek en de conclusie. En toch . . . 


In het publiek begon er iets te knagen. De cijfers zeggen het één, maar je gevoel zegt echt iets anders. Voorlezen voelt veel rijker en meer verbindend dan een digitaal prentenboek, om maar eens wat aspecten te noemen. Dat riep allemaal vragen op.
Je zag hier een spagaat tussen de rationele argumenten en een gevoel voor de situatie ontstaan. Wellicht herkenbaar in de discussies over het rekenonderwijs? Aan het einde van mijn lezing kom ik weer terug bij dit voorbeeld, maar voor nu wil ik weer terug naar de ideale rékenles.

Het woord ideaal. Het is niet alleen een bijvoeglijk naamwoord, maar ook een zelfstandig naamwoord: ‘Het hoogste dat je wilt verwezenlijken’. Wat hierin opvalt is het werkwoord ‘willen’, dat betekent dat ‘ideaal’ dus ook iets zegt over degene van wie dat ideaal is. ‘Ideaal’ is aan een subject gebonden: het bezit een zekere subjectiviteit. ‘Ideale rekenles’ lijkt dus aan de ene kant een soort objectiviteit te bezitten, een collectieve eensgezindheid over wat volmaakt is, maar aan de andere kant is er ook een sterke subjectiviteit verbonden aan je idealen. En dit is interessant, want in het woord ‘ideaal’ zelf zit dus ook de spagaat tussen het objectieve en het subjectieve gevangen. Tussen aan de ene kant het volmaakte, dat wat we vaak verbinden aan de cijfers, het bewijs, de ratio én aan de andere kant het subjectieve, dat wat we als hoogst haalbare wíllen verwezenlijken, dat wat we verbinden aan ons gevoel. Ideaalis ambigu! In het dagelijks spraakgebruik een zeer negatieve kwalificatie. 

Míjn ideale rekenles

Als ideaal subjectief is, dan wil ik eerst beginnen met wat míjn ideaal is. Wat voor mij het hoogst haalbare is dat ik zou willen bereiken.  Althans, graag deel ik daarvan enkele elementen. Ideaal reken-wiskunde onderwijs raakt voor mij drie terreinen: 

  • De wiskunde zelf; ik ben niet voor niets een wiskundige.
  • De toekomst. Wat heb je nodig om je te redden in de toekomstige maatschappij & wat heeft een gezonde maatschappij nodig van haar burgers?
  • De kinderen zelf. Wat hebben zij nu nodig en wat is voor hen een gezonde leeromgeving?

Voor mij doet een ideale rekenles recht aan al deze terreinen. Zowel in de doelen die gesteld worden, het pedagogisch klimaat dat wordt neergezet en de didactiek die wordt gevolgd. Op elk van deze terreinen zal ik je meenemen in een aantal ideeën die me de afgelopen jaren geïnspireerd hebben.

De wiskunde zelf

Ik begin met de wiskunde zelf. Recent kwam ik het volgende fragment uit ‘De telduivel[6]’ weer tegen. In ‘De telduivel’ wordt Robert, een jongetje dat het niet zo op wiskunde heeft, een aantal nachten bezocht door de telduivel die hem een andere kant van de wiskunde laat zien. In de eerste nacht legt Robert uit wat voor hem rekenen wiskunde is:

‘Wanneer twee bakkers in zes uur 444 krakelingen bakken, hoe lang hebben vijf bakkers dan nodig om 88 krakelingen te bakken?’

De telduivel geeft daarop het volgende antwoord:

‘Nou ja, zei de telduivel, en hij grijnsde. Geen kwaad woord over je leraar, maar met wiskunde heeft dat echt niks te maken. Zal ik je eens wat zeggen? De meeste echte wiskundigen kunnen helemaal niet rekenen. Bovendien vinden ze het zonde van de tijd. Daar heb je toch je zakjapannertje voor? Hij jij dat niet?’

Ik vind het een mooie illustratie voor de verschillen van inzicht over wat wiskunde is. Voor veel mensen is rekenen het uitrekenen van sommetjes, al dan niet kaal of in verhaaltjes als deze. Eergisteren merkte ik dat ook weer toen ik in de auto op weg naar Amsterdam de presentator van een grote radioshow aan zijn partner allemaal kale rekensommen hoorde voorleggen. Dit om aandacht te besteden aan de grote rekendag, een dag die juist als doel heeft een andere kant van het rekenen te laten zien.

Op dit punt is het goed een ‘disclaimer’ te maken. Je hebt me vast al een aantal malen rekenen en wiskunde door elkaar horen gebruiken. De discussie of rekenen nu wel of geen wiskunde is, laait weer op. Maar voor mij ís rekenen zonder twijfel wiskunde. Deze uitspraak is overigens niet hetzelfde als de vraag waar wat wij rekenen noemen in het voortgezet onderwijs thuis hoort. Ik bedoel hiermee dat de essentie van de onderwerpen die wij in Nederland onder het rekenen scharen wiskundig is. Welke plek en welk label deze onderwerpen in het onderwijs zelf krijgen is vooralsnog een inschatting van de bestaande didactiek en kaders.

Er zijn twee wiskundige perspectieven van waaruit ik naar het rekenen wil kijken: de toepassing van wiskunde en dat wat wiskundigen doen.Voor veel mensen is rekenen iets dat ze doen in hun vakgebied of in het dagelijks leven. Wiskunde wordt niet voor niets de dienstmaagd van de sciences genoemd. Zo levert wiskunde in de natuurkunde een taal om ideeën in op te schrijven, die zelfs helpt die ideeën te ontwikkelen. Voor vele andere vakgebieden wordt wiskunde gebruikt om van alles uit te rekenen

Conrad Wolfram, de wiskundige achter veel wiskundige software, schetst in zijn TED talk[7]een veel breder beeld van wiskunde. Hij onderscheidt in het toepassen van wiskunde 4 stappen: 

  • Posing the right question
  • Real world -> math formulation
  • Computation
  • Math formulation -> real world verification

Waar dus voor veel mensen de wiskunde in stap 3 zit, is voor wiskundigen het hele proces essentieel; is het uitrekenen (van simpel rekenen tot het gebruik van complexe wiskundige technieken) slechts een onderdeel van het toepassen van wiskunde. Zelfs bij simpele berekeningen zijn de stappen 1 en 2 essentieel om de betekenis te bepalen die je aan de berekeningen kunt toekennen. Zodra je de rekenen-wiskunde die je hebt geleerd gaat toepassen in je dagelijks leven of werk heb je dus alle vier stappen nodig. Daarnaast heeft de digitalisering invloed op stap 3. Computers kunnen een groot deel van het werk in stap 3 overnemen, zijn daar vaak zelfs beter in dan de mens. Niet alleen nemen ze rekenwerk over, maar door diezelfde ontwikkeling staan ons bovendien veel geavanceerder technieken ter beschikking. Dat heeft tot gevolg dat er van de huidige leerlingen veel meer verwacht wordt als het gaat om stappen 1, 2 en 4, dan wat leerlingen in het verleden nodig hadden. Dit alles vraagt meer interpretatie vermogen, creativiteit en kritisch wiskundig denken. 

Een tweede reden om naar de wiskunde te kijken is dat de kenmerken die wiskunde zo krachtig en bijzonder maken, ook de essentiële kracht vertegenwoordigen achter alle onderwerpen die wij onder het rekenen scharen. Maar wat zijn dan die kenmerken? Ofwel ‘Wat is wiskunde?’. Om het antwoord op die vraag te vinden is het logisch om eens te kijken wat een wiskundige doet. We krijgen daarvoor niet veel kansen, zo vaak kom je een wiskundige niet tegen ‘in het wild’. In series en films zijn het vaak karikaturen. Zo is mijn jeugdherinnering van een wiskundige het personage Dwayne Wayne uit “A different world’. Een wat onzekere jongen die verliefd wordt op het populairste meisje. Met een opklapzonnebril en in mijn herinnering een papiertje in zijn borstzakje voor zijn pennen. Gelukkig zijn er uitzonderingen. De BBC maakte in 1995 een documentaire[8]over Andrew Wiles, een van de bekendste wiskundigen van deze tijd. De documentaire begint met Wiles die uitlegt wat wiskunde voor hem is: 

‘Perhaps I can best describe my experience of doing mathematics in terms of a journey through a dark unexplored mansion. You enter the first room of the mansion and it’s completely dark. You stumble around, bumping into the furniture, but gradually you learn where each piece of furniture is. Finally after six months or so, you find the light switch, you turn it on, and suddenly it’s all illuminated. You can see exactly where you were. Then you move to the next room and spend another six months in the dark. So each of these breakthroughs, while sometimes they’re momentary, sometimes over a period of a day or two, they are the culmination of,- and couldn’t exist without – the many months of stumbling around in the dark that precede them.’

Aan het einde van deze uitleg zie je Wiles zich geëmotioneerd van de camera wegdraaien. Jaren gebruikte ik vooral de beeldspraak van het ‘lichtknopje’. Om aan te geven dat er een moment is dat alles op zijn plek valt. Dat wiskunde over echt begrip gaat. En dat het even duurt voor de kwartjes vallen. In mijn eigen ervaring is dat eindeloos proberen de puzzel in elkaar te leggen, tot je op een punt komt dat je er echt niets meer van lijkt te begrijpen, je alle stukjes weer uit elkaar moet halen om opnieuw lijkt te moeten beginnen. En dan. Ineens. Vallen ze allemaal op hun plek. 


Dit fragment laat echter meer zien. Als wiskunde alleen een instrumentele wetenschap was, dan zouden dit soort stappen in de wetenschap nooit gemaakt worden. Er is meer nodig dan alleen noeste arbeid en het volgen van de al bekende regels. Wat Wiles doet heeft te maken met magie, met zaken in een ander perspectief plaatsen, met het breken van de bestaande afspraken over wat kan en niet kan, met het vinden van nieuwe regels. Wiskunde vraagt creativiteit.  

Als we uitzoomen, dan zou je kunnen zeggen dat er twee beelden van wiskunde bestaan. Wiskunde als de wetenschap van het exacte, van het zeker weten. De wetenschap van één uniek antwoord, zonder discussie. Dit is de instrumentele kant van wiskunde, de verzameling van technieken, van het uitrekenen en van het bewijzen. De logische kant van de wiskunde, altijd exact en objectief. Voor veel mensen is dit hét beeld van wiskunde. Maar als je kijkt naar het werk dat wiskundigen daadwerkelijk doen, dan blijkt dit een eenzijdig beeld. Het is net zoals je een ambachtsman tekort zou doen, als je hem primair zou karakteriseren als iemand die zijn gereedschap technisch perfect hanteert. Het gaat om meer dan alleen de technische skill. 

Wat dan die andere kant van de wiskunde is, is nog best lastig te beschrijven. Verschillende wiskundigen hebben dat geprobeerd, en zelf vind ik het werk van William Byers in het boek[9]‘How mathematicians think’ een aanrader. Byers ziet ambiguïteitals de kern van wiskunde. Weer dat woord ambiguïteit. Maar nu als iets heel positiefs. 

Wat is ambiguïteit? 

In zijn TED talk neemt Roger Antonsen[10]ons mee in wat voor hem de kern van de wiskunde is: het wisselen van perspectief. Antonsen claimt dat je iets pas kunt begrijpen als je het vanuit verschillende perspectieven bekijkt. Hij speelt daarvoor met het getal 4/3 maar gebruikt ook een andere analogie: het begrijpen van de zee. Om de zee echt te begrijpen moet je vanuit allerlei perspectieven naar die zee kijken en dat perspectief begrijpen. Je kijkt van dichtbij, naar de golven, op het strand met je voeten in de branding. Je kunt het ruiken. En iedere keer begrijp je weer wat meer van de zee. 
Wanneer je bezig bent met wiskunde, dan wissel je ook constant van perspectief, bekijk je iets van verschillende kanten en leg je daar ook de verbanden tussen. Ambiguïteit is voor mij onder andere het samenkomen van die verschillende perspectieven in één wiskundig concept. Onlosmakelijk.

Byers noemt ambiguïteit dus de essentie van het werk van wiskundigen. Is het dan iets voor de gevorderden, of zelfs alleen voor universitair wiskundigen? En wat moet je daarmee wanneer je kinderen laat kennismaken met de eerste beginselen van rekenen-wiskunde? Mijn antwoord: alles!

Ambiguïteit zit in de vezels van de wiskunde, zonder aandacht voor ambiguïteit kom je niet tot het echt begrijpen van de kern. Anna Sfard[11]beschrijft het mooi in haar artikel ‘On the dual nature of mathematical conceptions’. Sfard vergelijkt daarin de ontwikkeling van de wiskunde als vakgebied en het leren van wiskunde door kinderen. Ze laat zien dat waar het vakgebied lang over heeft gedaan, ook juist de punten zijn die voor kinderen lastig zijn. Een voorbeeld dat ze noemt zijn de negatieve getallen. Voor ons is het bijna vanzelfsprekend dat -3 een getal is. Lange tijd was dat in de wiskunde niet zo; was het een notatie voor een proces. Pas later werden dit objecten, getallen waarmee je kunt rekenen. Sfard beschrijft het leren van wiskunde daarom in termen van dit soort proces-object overgangen, en heeft het daarmee dus ook over ambiguïteiten. 

Maar voor mij is ambiguïteit echter meer dan alleen die proces-object overgangen. Ambiguïteit komt overal voor, ook in de meest elementaire onderdelen van de wiskunde. Als je ze leert zien, dan wordt de wiskunde nog mooier. Nog magischer. Dan zie je het wonder van hoe alles zo mooi in elkaar past. Dan zie je ook de imperfecties die daar soms bij horen: de tegenstrijdigheden die je dan weer moet zien te overkomen. 

Een eenvoudig voorbeeld van ambiguïteit is het = teken. In het begin wordt het = teken vaak gezien als een opdracht: je gaat iets uitrekenen. Links staat de opdracht, en rechts moet je het antwoord opschrijven. Je noemt dit de operationele betekenis van het = teken. Het is de betekenis van de = op je rekenmachine. Het = teken heeft ook een relationele betekenis: aan beide kanten staat hetzelfde. Het = teken geeft een evenwicht of een balans aan. 


Je zou kunnen zeggen dat bij de operationele betekenis een vaste leesrichting van links naar rechts bestaat. Bij de relationele betekenis is die er zeker niet, daar maakt het niet uit of je van links naar rechts of rechts naar links leest. Voor veel mensen vallen de operationele en relationele betekenis van de = zo vanzelfsprekend samen dat ze zich niet realiseren dat voor kinderen die leren rekenen dat niet vanzelfsprekend hetzelfde is. Toch ontwikkelen kinderen niet altijd een begrip van de relationele betekenis. In het voortgezet onderwijs uit zich dat bijvoorbeeld in problemen bij het leren van algebra. Je herkent dit ook in het zogenaamde breienzoals je dat in de som hierboven ziet. Hoe streng je moet zijn als leerlingen breien is punt van vele discussies. Voor mij is het vooral een teken om te controleren of de leerlingen beide betekenissen van de = heeft ontwikkeld. Voor docenten en lesmateriaal ben ik overigens wel heel streng: daar zou geen elke vorm van breien mogen voorkomen. En helaas is dat niet altijd zo.

Een ander voorbeeld: 50% is 5/8. Dit lijkt niet te kloppen, maar toch ook weer wel. Meestal zien we een breuk als iets relatiefs: een deel van een geheel. 5/8 deel koppelen we dan aan 62,5%. Maar een breuk is ook een getal, zoals hier. Blijkbaar is het geheel hier 10/8.

Een breuk is dus óf relatief (een deel-geheel) óf absoluut (absoluut)? En je kunt uit de context opmaken welke van de twee je moet kiezen? Toch ben je er dan nog niet. Als getal is een breuk nog steeds relatief aan het geheel, de eenheid. En als deel-geheel heeft de breuk ook een absolute waarde wanneer je hem als een rekenfactor gebruikt of om proporties te vergelijken. Een breuk is dus áltijd álletwee.

Een laatste voorbeeld. Hoe zou je ‘1 : 100’ uitspreken? Als ‘1 op 100’ of als ‘1 gedeeld door 100’? Heb je er ooit over nagedacht hoe verwarrend het eigenlijk is om het teken : te gebruiken voor schaal als je het teken al kent voor het delen? Ik herinner me in ieder geval nog van de lagere school hoe vreemd ik het vond om hetzelfde symbool voor twee verschillende dingen, zoals ze werden gepresenteerd, te gebruiken. Als antwoord kreeg ik te horen dat je het in de situatie wel zag welke van de twee het was. Maar hoe zit dit eigenlijk, waarom hetzelfde teken gebruiken? Het verband: de deling als breuk. De breuk is een verhouding tussen twee losse elementen en tegelijkertijd één geheel, de factor tussen die losse elementen. En dan valt ineens je oog op een detail van iets dat je al zo vaak hebt bekeken: 


Ambiguïteit heeft dus te maken met het kiezen van verschillende perspectieven afhankelijk van de situatie die zich aandient. Het heeft te maken met het flexibel kunnen switchen naar een ander perspectief als dat nodig is. Maar het is meer dan dat. Het gaat er ook om dat die perspectieven een onlosmakelijk geheel vormen. Soms staat het ene perspectief op de voorgrond, dan weer de andere. Maar altijd blijven die andere perspectieven aanwezig; op de achtergrond. 

Mijn ideale rekenles kan dus niet zonder ambiguïteit. Alleen al omdat ambiguïteit nog al eens de oorzaak is dat een leerling iets niet meteen begrijpt. Ambiguïteit is de sleutel tot begrip, en negeren ervan kan dus niet. Overigens is er wel een tijd en plaats om aandacht aan de ambiguïteit te besteden. Niet altijd werken die schijnbare tegenstrijdigheden, die ook in ambiguïteit gelegen liggen, verhelderend. Maar op andere momenten is het heerlijk om er mee te spelen, erover te filosoferen en vooral de schoonheid ervan te zien.

Toekomst en de maatschappij

Het tweede terrein waar ik mijn ideale rekenles aan afmeet is de toekomst en de maatschappij. Digitalisering en globalisering hebben grote invloed op ons leven en op de manier waarop we samenleven. De vraag die vaak gesteld wordt is in hoeverre computers straks ons werk over zullen nemen en wat er dan nog voor de mens over blijft. De vraag of we de relatie mens-computer moeten bekijken vanuit concurrentie of complementariteit. 

Een voorbeeld uit het interview van de Correspondent[12]met Daan Roovers trof me. In dit interview zet Roovers ons aan het denken over wat je in deze tijd van snelle veranderingen mee moet geven aan kinderen in de opvoeding en dus ook in het onderwijs. Ze haalt hierin aan anekdote aan van een ouder op het schoolplein die enthousiast pleit voor een typediploma voor alle kinderen omdat ze later vaak met computers moeten werken. Maar terecht vraagt ze zich af: hoe lang blijft het toetsenbord nog de belangrijkste manier om met computers ‘te praten’.

Haar stelling is dan ook dat hoe sneller de maatschappij verandert, hoe belangrijker het wordt om niet te veel te focussen op concrete vaardigheden, maar de focus te leggen op het leren leven in een wereld die er nog niet is. Dus meer te focussen op de tijdloze ideeën en het leren denken. Dat sluit ook aan bij het idee dat er meer conceptueel begrip gevraagd wordt bij de introductie van al die technologie. Voor mij is het een extra argument voor aandacht voor ambiguïteit. Daarin schuilt immers vaak de kern van het conceptuele begrip. In de workshop later vandaag zullen we aan de hand van concrete voorbeelden kijken naar wat nieuwe technieken voor de inhoud van het curriculum betekenen. 

Wat is dan de basis die leerlingen nodig hebben? Dagelijks wordt er een beroep gedaan op je gecijferdheid. Op een aantal gebieden denk ik dat daar in de huidige tijd zelfs nog een zwaarder beroep op wordt gedaan. Door het verdwijnen van contant geld bijvoorbeeld, wordt het omgaan met geld lastiger. Voor veel mensen is de abstractie van geld een probleem en een deel van hen belandt daardoor zelfs in financiële problemen. Daarnaast vraagt de maatschappij een steeds grotere zelfstandigheid van haar burgers. De (financiële) administratie van een ZZP’er is niet voor iedereen weggelegd, en toch wordt dat van mensen met een grote diversiteit in opleiding gevraagd. Gecijferdheid is overigens niet alleen op financieel gebied van belang. Het gaat ook om het begrijpen van nieuws, het maken van keuzes op basis van data en kansen of het gebruiken van verschillende maten.

Naast deze gecijferdheid-PLUS, wil ik nog twee onderwerpen noemen die voor het PO relatief nieuw zijn.  De eerste is wiskundig modelleren, nodig bij de authentieke toepassing van wiskunde. We zagen net al even Conrad Wolfram die pleit voor een breder perspectief op wiskunde en als gevolg daarvan een andere verdeling van focus in het reken-wiskunde onderwijs. Voor hem omvat wiskunde veel meer dan het uitrekenen, het deel dat computers makkelijk van ons kunnen overnemen. Toch besteden we in ons onderwijs daar nog steeds de meeste tijd aan. Hij vindt dat dat beter kan, zonder te pleiten voor het afschaffen van het (tot op zekere hoogte) zelf handmatig kunnen uitvoeren van bepaalde basisvaardigheden. In lijn met dit pleidooi van Wolfram denk ik dat er veel meer aandacht nodig is voor de keuzes die je maakt voordat je in een authentieke situaties überhaupt kunt beginnen met uitrekenen. Wil je bijvoorbeeld berekenen wat de beste route is, dan zul je die vraag eerst moeten preciseren. De snelste en kortste route hoeven immers niet altijd dezelfde te zijn. En je zou eventueel ook nog andere keuzes kunnen maken. Persoonlijk zie ik een gat in de markt voor de veiligste route als je kinderen voor het eerst alleen aan het verkeer deel gaan nemen. Maar ook de mooiste route, als je iets meer tijd hebt, is een goede kandidaat. De keuze is bepalend voor wat je uitrekent en dus ook voor de interpretatie van de uitkomst van die berekening. Ik zou het ontzettend jammer vinden als we dit pas in groep 8 aan de orde laten komen. Het is ook niet nodig, want dit soort vragen kun je al heel vroeg stellen. Dat kan al beginnen om samen met de kinderen kritisch naar contextopgaven te kijken. Is het bijvoorbeeld in de volgende situatie zinvol om het gemiddelde uit te rekenen: “Twee kinderen gaan in de stad spulletjes kopen van hun zakgeld. Wat hebben ze per persoon uitgegeven?”.  Zo ontwikkelen ze een gevoel voor de betekenis van ‘per’ meer dan alleen als een (kritiekloos) signaalwoord voor de operatie ‘delen’.

Het tweede onderwerp dat redelijk nieuw is voor het basisonderwijs is de kracht van data en algoritmes. De ontwikkelingen daarin zijn groot en dit kent zowel hele positieve kanten als een ‘dark side’. Hans Rosling[13]laat zo’n positieve kant zien. Rosling die als arts over de hele wereld werkte, gebruikte bewegende grafieken om ons beeld van de derde wereld bij te stellen. Zijn lezingen zijn de moeite van het bekijken waard. Niet alleen om het beeld dat hij van de wereld laat zien, maar zeker ook om de manier waarop hij data visualiseert. In zijn boek ‘Feitenkennis’ stipt hij een aantal veelgemaakte redenatiefouten rondom data aan.
Sanne Blauw[14]laat in haar boek ‘Het best verkochte boek ooit’ op een laagdrempelige manier zien dat we in onze maatschappij teveel op cijfers zijn gaan leunen. Ze betoogt dat we ze te serieus nemen, en dat cijfers weer op hun echte plek moeten worden gezet. Daarmee laat ze ook een donkerder kant van big data zien. Cathy O’Neil[15], de wiskundige in dit rijtje, waarschuwt met haar boek ‘Weapons of math destruction’ voor de negatieve impact die algoritmes kunnen hebben op onze maatschappij. Ze geeft daarvan voorbeelden in alle aspecten van ons leven. Ze laat zien hoe de ranking van universiteiten het universitaire stelsel in Amerika ondermijnen. Ze geeft voorbeelden van de invloed van algoritmes op het aannemen van mensen. Ook op andere terreinen laat ze zien hoe algoritmes de ongelijkheid in de maatschappij kunnen vergroten. Het interessante van haar werk is dat ze ons handvatten geeft om algoritmes te herkennen die uit de bocht vliegen, en die tegelijkertijd ook de oplossing bieden algoritmes de ontwikkelen die wel een positieve bijdrage aan onze maatschappij leveren. Er zijn in het onderwijs grote stappen nodig om bij deze ontwikkelingen in het gebruik van data aan te kunnen haken. Ook het kunnen overzien van consequenties van data en algoritmes hoort daar wat mij betreft bij. 

Als je dit zo hoort dan zou je kunnen denken dat al die statistiek veel te ingewikkeld is voor de basisschool. Dat die eerste reactie er is, hebben we wel gezien aan de reacties die de suggestie van Curriculum.nu om meer aandacht te besteden aan statistiek in het PO opriep. Uiteraard stel ik hier niet voor om allerlei formele statistiek op de basisschool te gaan introduceren. Dat soort technieken zijn meer iets voor het VO door aandacht te vragen voor data en algoritmes. Maar ook voor het basisonderwijs is er werk aan de winkel. Op jongere leeftijd kunnen kinderen al kennismaken met een aantal basisideeën en kan er gewerkt worden aan bewustwording in het gebruik van data. In het project  ‘Factchecking in het basisonderwijs’, waar ik samen met Marike Verschoor en Marc van Zanten aan werk, proberen we te laten zien op welke manieren dit kan. De eerste resultaten zijn positief: er is interesse vanuit scholen en voor kinderen blijken er al voldoende aanknopingspunten om op deze leeftijd mee aan de slag te gaan. Het project kent een organisch karakter en wordt gedragen door mensen die hier hun tijd in willen investeren. We hopen op deze manier een community van geïnteresseerde docenten en lerarenopleiders op te bouwen. 


Afgelopen maand heb ik in dit kader een mooi experiment gedaan met twee docenten uit groep 8, geïnspireerd op het project ‘Dear Data’[16]waarin twee data professionals, Lupi en Posavec, elkaar een jaar lang wekelijks een kaart met daarop een datavisualisatie stuurden. Elke week gebruikten ze een ander thema zoals complimenten, deuren of je kledingkast. De leerlingen startten met de analyse van enkele kaarten van Lupi en Podavec zelf. Daarin ontdekten ze dat rijke data meerdere lagen kan hebben, en dat er veel meer mogelijkheden van datavisualisatie zijn dan de staaf-, cirkel en lijndiagrammen die ze uit de rekenmethode kennen. Daarna gingen ze zelf aan de slag door een week lang eigen data te verzamelen, en deze na deze week te vertalen naar een eigen ansichtkaart. Dit leverde allerlei verrassende inzichten bij zowel kinderen en de leraren. In ieder geval gaf het de kinderen een heel ander beeld van wiskunde. 

Ook ander werk van Giorgia Lupi[17]is interessant. Ze bekijkt data op een heel verfrissende manier. Ze ziet data als het begin van inzicht, het begin van je nieuwsgierigheid en ze zoekt nadrukkelijk naar de menselijke kant van data. Ze noemt dit data-humanisme.

Kinderen

Het derde terrein zijn de kinderen. De voorbeelden die ik tot nu toe heb laten zien wijzen op een meer conceptuele richting voor het wiskundeonderwijs. De trend die ik zie is dat de conceptuele kern van rekenen-wiskunde juist in deze tijd van digitalisering belangrijk wordt; dat het in het reken- en wiskundeonderwijs steeds meer zal moeten gaan om begrijpen. Overigens wel een nieuw soort van begrijpen. Deze tijd vraagt bovendien van burgers om kritische denkers te zijn. Voor mij is een ideale rekenles dan ook een les waarin leerlingen de ruimte krijgen om kritisch te denken en om de nieuwsgierigheid die ze van nature hebben te behouden.

Dan Meyer ageert onder andere in zijn bekende Ted-talk[18]tegen onderwijs dat van leerlingen luie denkers maakt. Hij laat zien hoe weinig ruimte Amerikaanse lesmethodes aan leerlingen geven om zelf na te denken in de wiskunde les. Hij heeft er een mooie beeldspraak voor. Alle mogelijke hobbels zijn voor leerlingen gladgestreken. Af en toe blijft er nog een scheur in de weg over die niet weggewerkt kan worden. Daar waarschuwen we leerlingen dan uitgebreid voor en we feliciteren ze als ze daar netjes overheen gestapt zijn. Met alle deelvragen bij een opgave worden in zijn woorden wiskundeopgaven gereduceerd tot soapserie diepgang. 

Gerelateerd aan de ruimte die kinderen krijgen om zelf na te denken, is het belangrijk om na te denken hoe we in het onderwijs tegen fouten aankijken. In zijn lezing ‘Against answer getting’[i19]beschrijft Phil Daro dit mooi. In het vergelijk tussen wiskunde lessen in Japan en de Verenigde Staten viel hem een belangrijk verschil in uitgangspunt op: ‘Hoe kan ik mijn kinderen leren dit soort opgaven goed te beantwoorden’ versus ‘hoe kan ik deze opgaven gebruiken om mijn kinderen de onderliggende wiskunde te leren’. Een misschien subtiel verschil, maar met een grote impact. Gerelateerd daaraan deelt hij in zijn lezing een mooie metafoor over fouten. Hij noemt ze de kanarie in een mijn. Daarbij geeft het maken van een fout niet zozeer het probleem van een individuele leerling weer; een fout is niet een teken dat de leerling remediering op dit punt nodig heeft. Voor hem is de gemaakte fout, net als de kanarie, een waarschuwing dat de wiskunde daar lastig is. En dat betekent: interessant. Voor de hele klas, dus ook voor de kinderen die de fout, al dan bij toeval, niet hebben gemaakt.

Mijn ideale rekenles

In bovenstaande heb ik heel wat ideeën de revue laten passeren. Een korte samenvatting. Mijn ideale rekenles doet recht aan de wiskunde zelf, aan de toekomst en aan de leerlingen. Dat betekent dat ambiguïteit een grote rol speelt en dat er aandacht is voor functionele gecijferdheid-PLUS, wiskundig modelleren en de rol van (big-)data en algoritmes. In mijn ideale rekenles krijgen kinderen de kans om zelf hun eigen hobbels te overkomen én zien we fouten als een natuurlijk onderdeel van het leerproces. In mijn ideale rekenles zijn of worden leerlingen rekendapper en rekenactief, leren ze ergens hun tanden in te zetten, en wordt een kritisch wiskundige houding gestimuleerd.

Dé ideale rekenles

Dan is het nu weer tijd om terug te gaan naar het begin van deze lezing. Daar zagen we dat ideaal volmaakt betekent. Wanneer is dan iets volmaakt? We zagen ook de spagaat die er kan ontstaan wanneer ratio en gevoel lijnrecht tegenover elkaar lijken te staan met de cijfers als de objectieve scheidsrechter. 

In mijn eigen TED-talk[20]bespreek ik de neiging in de huidige maatschappij om blind op cijfers te vertrouwen, omdat cijfers voor velen objectiviteit vertegenwoordigen. Daarbij wordt vaak vergeten dat cijfers hun betekenis ontlenen aan de context waarin ze zijn ontstaan, aan de keuzes die ten grondslag van die cijfers lagen. Net zoals er een verschil is tussen de snelste en kortste route. Dat is de subjectiviteit die bij de objectiviteit van cijfers hoort. Om die balans én de echte waarde van cijfers te begrijpen is een kritische wiskundige houding nodig. In mijn lezing bespreek ik hoe het zoeken naar wat ik ‘de definitie van succes’ noem, je kan helpen in je kritische houding en dus bij het beoordelen van een resultaat. De definitie van succesis letterlijk dat wat wordt uitgerekend. Dat is de vertaling van de menselijke kant achter de berekening. 
Ook in het geval van mijn voorbeeld over de digitale prentenboeken werkt dit. Zoals dat gebruikelijk is in de wetenschap bakenen de onderzoekers hun onderzoek af door de kernbegrippen ‘digitaal prentenboek’ en ‘voorlezen’ zo te definiëren dat ze geoperationaliseerd kunnen worden in hun onderzoek. Deze afgebakende definities zijn minder ruim dan wat je je in zijn algemeenheid voorstelt bij voorlezen of digitaal prentenboek. In dit voorbeeld ligt de definitie van succes in de berekening van effect van het voorlezen of het prentenboek. Er wordt immers gezocht naar de meest effectieve methode. Er zijn vele verschillende effecten van voorlezen te beschrijven, in de berekening zie je welke daarvan is meegenomen in het onderzoek en hoe dat is gekwantificeerd. Dat kan bijvoorbeeld het aantal geleerde woorden van een bepaalde woordenlijst zijn. Door de aard van sociale wetenschappen kunnen in dit soort onderzoeken vaak slecht één of enkelen van die effecten worden gemeten. Voor welke gekozen zijn hangt onder andere samen met de achtergrond van de onderzoekers en het paradigma van waaruit ze onderzoek doen. Een geoefende wetenschapper kan onderzoek en de onderliggende doelen voor onderwijs vaak wel plaatsen. Voor docenten en studenten die hun eerste schreden in het onderwijsonderzoek zetten is dat vaak heel lastig. Ik denk dat dit aandacht vraagt van wetenschappers zelf én van lerarenopleiders die docenten en studenten begeleiden bij die eerste schreden. 

Het voorbeeld laat ook een algemene rode vlag zien: de woorden efficiëntie en effectiviteit dekken zelden de lading die ermee wordt gesuggereerd. Het onderwijs is zeer complex. Onderwijs onderzoek kan altijd maar een klein aspect van die complexiteit bestuderen. Bovendien kennen we in onderwijs onderzoek geen traditie van het beschrijven van ‘bijwerkingen’, van onbedoelde neveneffecten van de onderzochte methode. De claims effectiefst en efficiëntst zijn dus bijna per definitie te groot voor wat het onderliggende onderzoek waar kan maken.

Daarmee komen we bij mijn algemene bezwaar tegen de trend van evidence based onderwijs. Ik mis daarin de kritisch wiskundig houding in het omgaan met de resultaten van onderwijs onderzoek. Te vaak is de rapportage van onderzoek veel te breed, en worden er grotere claims gedaan dan op basis van het onderzoek kunnen worden waargemaakt. Te vaak worden daarin veel te weinig de invloed van de contextkenmerken waarin het onderzoek is verricht meegenomen, en wordt er bij de interpretatie te weinig rekening gehouden met de onbewuste keuzes die onder een onderzoek liggen. Keuzes, die onder elk gebruik van wiskunde liggen, worden wat mij betreft te weinig in de rapportage van onderzoek geëxpliciteerd. Soms komt dat omdat men zich niet bewust is van zo’n keuze. Elk onderzoek naar onderwijs heeft achterliggend een achtergrond van het soort doelen dat het onderwijs geacht wordt na te streven. Dit bepaalt impliciet hoe je een onderzoek opzet, en heeft daarmee veel invloed op de uitkomst van dat onderzoek. 

En nu moet ik even heel streng zijn: ik vind dat er te opportunistisch wordt omgesprongen met onderzoeksresultaten. Uitkomsten die bevallen worden overgenomen en als wetenschappelijk bewezen gepresenteerd ook wanneer de methode waarmee het resultaat tot stand kwam bovenstaande bezwaren kent. Ik denk dat we moeten stoppen met dit cherry-picking. 

Daarnaast heb ik een andere zorg ten aanzien van evidence-based onderwijs. Deze zorg ligt in de vertaling van dergelijk onderzoek naar de praktijk. Te vaak is dit te veel op de vorm gericht. De vorm wordt dan in het ontwerp van onderwijs zo leidend, zelfs zo dwingend, dat het beperkingen oplegt aan de inhoud. De vorm die wordt gekozen stuurt de doelen dan zo, maakt ze platter, dat ze daardoor de ontwikkeling van ambiguïteit en kritisch wiskundig denken hinderen. Wiskunde ís ambigu. Net als overigens veel andere zaken in het leven die aan de mens verbonden zijn. Een vorm van onderwijs die ambiguïteit in de weg staat, kan nooit bijdragen aan echt wiskunde leren.

Tijd om er een punt aan te breien. Voor mij staat een ideale rekenlesnooit alleen. Het is een ervaring in een hele serie van misschien wel levenslang leren waarin voor kinderen ruimte is om te leren en om stappen naar de toekomst te zetten. Ideaal rekenonderwijsis voor mij onderwijs waarin docenten de professionele bagage hebben en die mogen en kunnen gebruiken om zulke lessen vorm te geven, om dit soort lessen te begeleiden en als docent ook zelf elke dag te leren. Zij doen dit op basis van hun vakdidactische kennis, hun kennis van rekenen-wiskunde, hun pedagogisch kennis, hun intuïtie, hun gevoel voor de context en hun verbinding met hun kinderen. Zo kunnen ze de goede keuzes maken die passen bij dat moment. Vaak zullen dat de beste keuzes zijn, daar moeten we op vertrouwen. Helemaal zeker zullen we dat echter nooit weten. Daarvoor is het onderwijs te complex en veelzijdig. Maar dat is nu juist wat ons vak zo ontzettend mooi maakt. 



Referenties:

[1]Een indruk van EDI is te vinden in deze video: https://vimeo.com/173689095. Hierin laat DataWorks zien hoe een EDI-les waarin de concept-ontwikkeling centraal staat, er uit zou moeten zien.

[2]Het werk van Peter Liljedahl is te vinden op zijn website: www.peterliljedahl.com

[3]Het werk van Jo Boaler is te vinden op de website van Youcubed. 

[4]https://vimeo.com/245472639

[5]https://www.kennisnet.nl/artikel/kleuters-hebben-baat-bij-digitale-prentenboeken/

[6]‘De telduivel’ is geschreven door Hans Magnus en gaat over de Telduivel die een aantal nachten achter elkaar Robert bezoekt in zijn dromen. Daar leert hij Robert op een wel heel andere manier naar wiskunde kijken.

[7]https://www.ted.com/talks/conrad_wolfram_teaching_kids_real_math_with_computers

[8]https://www.dailymotion.com/video/x223gx8

[9]Bill Byers schreef het boek “How mathematicians think”. Een korte introductie op zijn ideeën over ambiguïteit vind je hier: http://www.amyscott.com/mathambiguity.htm

[10]Ted Talk van Roger Antonsen: https://www.ted.com/talks/roger_antonsen_math_is_the_hidden_secret_to_understanding_the_world>

[11]Anna Sfard – On the dual nature <invullen>

[12]https://soundcloud.com/de-correspondent/lex-bohlmeijer-in-gesprek-met-daan-roovers

[13]Hans Rosling startte het bedrijf Gapminder (https://www.gapminder.org/), en is bekend van zijn vele lezingen die op internet te zien zijn. Daarnaast schreef hij het boek ‘Feitenkennis’

[14]http://www.sanneblauw.com/

[15]Onder andere te zien in https://www.youtube.com/watch?v=gdCJYsKlX_Yen https://www.youtube.com/watch?v=_2u_eHHzRto

[16]http://www.dear-data.com/theproject

[17]http://giorgialupi.com/

[18]https://www.ted.com/talks/dan_meyer_math_curriculum_makeover

[19]https://vimeo.com/79916037

[20]https://www.youtube.com/watch?v=n2TxrhwO2gA